myLOG'S: Nombor

Nombor ialah satu entiti abstrak yang mewakili hitungan atau ukuran. Simbol untuk nombor dipanggil angka. Dalam penggunaan biasa, angka sering digunakan sebagai label (penomboran rumah), penunjuk susunan (nombor bersiri), dan kod (ISBN). Dalam bidangmatematik, takrif nombor telah diperluas untuk merangkumi keabstrakan seperti pecahan, nisbah, serta nombor-nombor negatif, transenden, dan kompleks.

Operasi-operasi aritmetik untuk nombor, seperti penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian, dibuat lebih umum dalam cabang matematik yang dikenali sebagai algebra niskala. Algebra niskala ialah kajian tentang sistem-sistem nombor abstrak, sepertikumpulan, gelanggang dan medan.

Angka ialah suatu simbol atau kelompok simbol, atau suatu perkataan dalam bahasa tabii yang melambangkan nombor. Angka berbeza dengan nombor seperti mana perkataan berbeza daripada benda-benda yang dimaksudkannya. Simbol-simbol "11", "sebelas" dan "XI" merupakan angka yang berbeza tetapi kesemuanya melambangkan nombor yang sama. Rencana ini cuba menjelaskan pelbagai sistem angka.

Sistem angka (atau sistem pengangkaan) ialah sejenis rangka kerja yang mana satu set nombor dilambangkan melalui angka secara konsisten. Sistem angka boleh dilihat sebagai konteks yang membolehkan angka "11" ditafsir sebagai angka perduaan untuk tiga, angkaperpuluhan untuk sebelas, atau mana-mana nombor lain dalam asas-asas berbeza.

Secara ideal, sesuatu sistem angka mesti:

Menggambarkan satu set nombor yang berguna (contohnya, semua angka bulat, integer, atau nombor nyata)

Memberi setiap nombor yang dilambangkan dengan perlambangan yang unik (atau sekurang-kurangnya gambaran yang piawai)

Mencerminkan struktur algebra dan aritmetik nombor-nombor

Contohnya, gambaran perpuluhan yang lazim bagi nombor bulat memberikan satu perlambangan yang unik setiap satu nombor bulat sebagaisusunan urutan digit yang terhingga, dengan adanya operasi-operasi aritmetik (penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian) sebagaialgoritma piawaian bagi aritmetik. Bagaimanapun, apabila perlambangan perpuluhan digunakan untuk nombor nisbah atau nombor nyata, maka perlambangannya tiak unik lagi: kebanyakan nombor nisbah mempunyai dua angka, iaitu satu bentuk piawai yang berakhir, seperti 2.31, dan satu lagi yang menjadi semula, seperti 2.309999999… . Angka yang berakhir tidak ada digit bukan zero selepas satu kedudukan yang diberi. Contohnya, angka-angka 2.31 dan 2.310 dianggap sama nilai, kecuali dalam kajian sains, yang mana ketepatan ditandai dengan sifar di belakang.

Kadang-kala, sistem angka juga dipanggil sistem nombor, tetapi itu tidak tepat kerana istilah sistem nombor menyentuh pelbagai sistem nombor, seperti sistem nombor nyata, sistem nombor kompleks, sistem nombor p-adik, dan sebagainya.

Jenis sistem nombor

Kebelakangan ini, sistem angka yang paling laris digunakan dikenali sebagai angka Hindu-Arab yang dipercayai dicipta oleh dua orang ahli matematik India yang tersohor. Āryabhaṭa dari Kusumapura yang hidup pada abad ke-5 mengembangkan notasi nilai tempat, diikuti seabad kemudian oleh Brahmagupta yang memperkenalkan simbol sifar.

Sistem angka yang paling ringkas ialah sistem angka sesatu, yang mana setiap nombor tabii dilambangkan oleh bilangan simbol yang bersamaan. Contohnya, jika simbol / dipilih, maka nombor tujuh boleh dilambangkan sebagai ///////. Kira markah merupakan salah satu sistem sebegini yang masih digunakan pada masa kini. Secara praktis, sistem sesatu lazimnya hanya berguna untuk nombor kecil, namun memainkan peranan penting dalam sains komputer teori

Jenis nombor

Nombor boleh dikelaskan kepada set yang dipanggil sistem nombor. Untuk kaedah-kaedah menyatakan nombor dengan simbol, sila lihat sistem angka.

Nombor asli

Nombor-nombor yang paling biasa digunakan ialah nombor asli. Bagi sesetengah orang, nombor asli bermaksud integer bukan negatif, manakala untuk orang yang lain, istilah itu bermakna integer positif. Integer-integer bukan negatif dirujuk sebagai nombor bulat, manakala integer positif dirujuk sebagai nombor pembilang.

Dalam sistem penomboran asas sepuluh yang digunakan di hampir seluruh dunia, simbol-simbol untuk nombor asli ditulis dengan menggunakan sepuluh digit, iaitu 0 hingga 9. Suatu sistem nilai tempat tersirat yang bertambah dengan kuasa sepuluh digunakan untuk nombor yang lebih besar daripada sembilan. Oleh itu, nombor yang lebih besar daripada sembilan mempunyai angka yang dibentuk daripada dua or lebih digit. Simbol untuk set yang merangkumi semua nombor asli ialah $\mathbb{N}.$

Integer

Nombor negatif ialah nombor yang nilainya adalah kurang daripada sifar. Nombor ini biasa ditulis dengan menggunakan tanda negatif di hadapan nombor positif yang sepadan untuk menandakan lawannya. Umpamanya, jika satu nombor positif digunakan untuk menandakan jarak di sebelah kanan titik tetap, nombor negatif akan digunakan untuk menandakan jarak di sebelah kiri. Serupa juga, jika satu nombor positif menandakan simpanan bank, jadi nombor negatif merujuk kepada pengeluaran wang daripada akaun bank itu. Apabila nombor bulat negatif dicantumkan dengan nombor bulat positif atau nombor sifar, seseorang akan mendapat integer $\mathbb{Z}$ (bahasa Jerman: Zahl, bentuk jamak Zahlen).

Nombor nisbah

Nombor nisbah ialah nombor yang boleh diungkapkan sebagai pecahan yang terdiri daripada pengangka integer serta penyebut nombor asli yang bukan sifar. Pecahan $\tfrac{m}{n}$ mewakili kuantiti yang diperoleh apabila sesuatu benda dibahagikan kepada

bahagian yang sama. Dua pecahan yang berbeza boleh mempunyai nilai yang sama dengan satu nombor nisbah; umpamanya $\tfrac{1}{2}$ dan $\tfrac{2}{4}$ adalah sama. Jika nilai mutlak untuk

adalah lebih besar daripada

, nilai mutlak untuk pecahan itu adalah lebih besar daripada satu. Pecahan boleh mempunyai nilai positif, negatif, atau sifar. Set untuk semua pecahan merangkumi semua integer kerana setiap integer boleh ditulis sebagai satu pecahan dengan penyebut 1. Simbol untuk nombor nisbah ialah huruf tebal $\mathbb{Q}$ (untuk quotient dalam bahasa Inggeris, iaitu hasil bahagi).

Nombor nyata

Dengan kurang tepat, nombor-nombor nyata boleh dianggap sebagai sama sahaja dengan titik-titik pada garis selanjar. Semua nombor nisbahadalah nombor nyata dan seperti dengan nombor nisbah, nombor nyata boleh dikelaskan, baik sebagai positif, sifar, mahupun negatif. Nombor nyata boleh dicirikan dengan unik melalui sifat matematiknya: nombor ini adalah medan tertib lengkap yang tunggal. Bagaimanapun, nombor nyata bukannya suatu medan tertutup algebra.

Angka-angka perpuluhan adalah lagi satu cara untuk mengungkapkan nombor. Dalam sistem nombor asas sepuluh, nombor ini ditulis sebagai rentetan angka, dengan satu titik(titik perpuluhan) (umpamanya di Amerika Syarikat dan United Kingdom) atau dengan satu koma (umpamanya di benua Eropah) di sebelah kanan tempat nilai-nilai satu; nombor nyata negatif ditulis dengan tanda minus di hadapan. Sesuatu angka perpuluhan yang mentakrifkan nombor rasional boleh berulang-ulang atau tamat (walaupun seberapa banyak nombor sifar boleh ditambah), walaupun sifar ialah nombor nyata yang tunggal yang tidak boleh ditakrifkan melalui angka perpuluhan yang berulang-ulang. Umpamanya, pecahan $\tfrac{5}{4}$ boleh ditulis sebagai angka perpuluhan 1.25 yang tamat, atau sebagai angka perpuluhan 1.24999... (angka-angka sembilan yang berterusan) yang berulang-ulang. Pecahan $\tfrac{1}{3}$ hanya boleh ditulis dengan 0.3333... (angka-angka tiga yang berterusan) yang berulang-ulang. Semua angka perpuluhan yang berulang-ulang atau tamat mentakrifkan nombor nyata yang juga boleh ditulis sebagai pecahan; 1.25 = $\tfrac{5}{4}$ dan 0.3333... = $\tfrac{1}{3}$ . Sebaliknya, angka-angka yang tidak berulang-ulang atau tidak tamat mewakili nombor bukan nisbah, iaitu nombor-nombor yang tidak boleh ditulis sebagai pecahan. Umpamanya pemalar-pemalar matematik yang terkenal seperti π (pi) dan , punca kuasa dua 2, adalah nisbah; serupa juga dengan nombor nyata yang diungkapkan oleh angka perpuluhan 0.101001000100001... kerana ungkapan ini tidak berulang atau tamat.

Nombor-nombor nyata terdiri daripada semua nombor yang boleh diungkapkan melalui angka perpuluhan, baik nombor nisbah mahupun nisbah. Simbol untuk nombor nyata ialah Nombor-nombor nyata telah dipergunakan untuk mewakili ukuran, dan adalah sama dengan titik-titik pada garis nombor. Oleh sebab ukuran-ukuran hanya dibuat pada tahap ketepatan yang tertentu, jidar selisih selalu wujud apabila nombor nyata digunakan untuk mewakilinya. Ini sering diolahkan dengan menentukan bilangan angka bererti yang sesu

Nombor kompleks

Beralih ke tahap pengabstrakan yang lebih tinggi, nombor-nombor nyata boleh diperluas supaya merangkumi nombor-nombor kompleks $\mathbb{C}.$ Dari segi sejarah, set nombor muncul daripada soalan bolehkah nombor negatif mempunyai punca kuasa dua. Daripada masalah ini, satu nombor baru telah ditemui: punca kuasa dua negatif satu. Nombor ini ditandakan dengan simbol

yang diberikan oleh Leonhard Euler.

Nombor-nombor kompleks terdiri daripada semua nombor dengan bentuk , dengan

dan

merupakan nombor-nombor nyata. Jika

ialah sifar, maka dipanggilnombor khayalan. Serupa juga, jika

ialah sifar, maka ialah nombor nyata kerana tidak adanya komponen khayalan. Sesuatu nombor kompleks yang mempunyai

dan

sebagai integer dipanggil integer Gaussan. Nombor-nombor kompleks merupakan medan tertutup algebra, iaitu setiap polinomial dengan koefisien kompleks boleh difaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang mempunyai koefisien-koefisien kompleks. Nombor-nombor kompleks adalah sepadan dengan titik-titik pada satah kompleks.

Setiap sistem nombor yang disebut di atas adalah subset bagi sistem nombor yang berikut. Secara simbol, ini diwakili sebagai:

Sejarah integer

Penggunaan nombor buat pertama kali yang diketahui bertarikh sejak sekitar 30000 SM, ketika gundal digunakan oleh orang-orang Paleolitik. Contoh terawal yang dikenali ialah dari sebuah gua di bahagian selatan Afrika. [1]. Sistem ini tidak mempunyai konsep nilai tempat (seperti dalam notasi perpuluhan yang digunakan sekarang) dan oleh itu, mengehadkan perwakilan nombor yang besar. Sistem pertama yang diketahui mempunyai nilai tempat ialah sistem asas 60 Mesopotamia (k.k. 3400 SM), dan sistem asas 10 terawal yang dikenali wujud sejak 3100 SM di Mesir. [2]

Sejarah sifar

Penggunaan sifar sebagai satu nombor harus dibezakan daripada penggunaannya sebagai satu angka pemegang tempat dalam sistem-sistem nilai tempat. Banyak teks India kuno menggunakan perkataan Sanskrit shunya untuk merujuk kepada konsep lowong; dalam teks matematik, perkataan ini sering digunakan untuk merujuk kepada nombor sifar. [3]. Dengan cara yang sama, Pāṇini (abad ke-5 SM) menggunakan pengoperasi nol (sifar, iaitu penerbitan lambda) dalam tatabahasa algebranya, Ashtadhyayi, untuk bahasa Sanskrit(lihat juga Pingala)

Rekod-rekod menunjukkan bahawa orang-orang Yunani kelihatan tidak pasti tentang status sifar sebagai satu nombor: mereka tertanya-tanya tentang "bagaimana 'tidak ada apa-apa' boleh merupakan sesuatu?", dan menimbulkan perdebatan falsafah dan menjelang Zaman Pertengahan, juga perdebatan agama yang menarik tentang sifat dan kewujudan sifar serta hampagas. Paradoks Zeno dari Elea bergantung sebahagian besar kepada tafsiran sifar yang tidak pasti. (Orang-orang Yunani juga mempersoalkan tentang adakah

Orang-orang Olmec dari Mexico tengah selatan yang lebih lewat memulakan penggunaan sifar benar di dalam Dunia Baru, mungkin sejak abad ke-4 SM tetapi pasti pada 40 SM. Sifar benar itu dijadikan oleh mereka sebagai satu angka yang perlu untuk angka-angka Maya dan takwim Maya, tetapi penggunaan mereka ini tidak mempengaruhi sistem-sistem angka Dunia Lama.

Menjelang tahun 130 Masihi, Ptolemy yang dipengaruhi oleh Hipparchus dan orang-orang Babylon, menggunakan satu simbol untuk sifar (satu bulatan kecil dengan satu palang yang panjang di atasnya) yang sebelum itu, menggunakan abjad dalam sistem angka perenampuluhan. Disebabkan nombor sifar ini digunakan secara berasingan, dan bukan sahaja sebagai pemegang tempat, sifar keyunanian ini merupakan penggunaan sifar benar yang 'didokumenkan' buat pertama kali di dalam Dunia Lama. Untuk manuskrip-manuskrip Rom Timur yang kemudian bagi karynanya, Syntaxis Mathematica (Almagest), bentuk sifar keyunanian Ptolemy telah diubah menjadi huruf Greek, omikron(sebelum itu bermaksud 70).

Menjelang tahun 525 Masihi, lagi satu sifar benar telah digunakan di dalam jadual-jadual, bersama-sama dengan angka Rom (penggunaan pertama yang diketahui adalah olehDionysius Exiguus), tetapi sebagai perkataan, iaitu nulla yang bermaksud tidak ada satu pun, dan bukannya sebagai satu simbol. Apabila pembahagian menghasilkan sifar sebagai bakinya, nihil yang juga bermaksud tiada ada satu pun, digunakan. Sifar-sifar Zaman Pertengahan ini digunakan oleh semua komputus (penghitung Easter) Zaman Pertengahan yang kemudian. Pada sekitar 725 Masihi, parap N telah digunakan di dalam jadual angka Rom oleh Bede, atau teman sekerjanya, dan merupakan satu penggunaan terasing, serta satu simbol sifar yang benar.

Satu penggunaan sifar yang awal oleh Brahmagupta yang telah didokumenkan di dalam Brahmasphutasiddhanta bertarikh sejak tahun 628 Masihi. Beliau mengolahkan sifar sebagai satu nombor, dan membincangkan operasi-operasi yang melibatkannya, termasuk pembahagian. Pada masa ini, iaitu abad ke-7, konsep ini jelas telah tiba di Kemboja, dan dokumen-dokumen menunjukkan bahawa idea ini kemudian tersebar ke China dan dunia Islam.

Sejarah nombor negatif

Konsep abstrak bagi nombor-nombor negatif telah diakui seawal 100 - 50 SM. Karya Cina, "Sembilan Bab mengenai Seni Matematik" (Jiu-zhang Suanshu) mengandungi kaedah-kaedah untuk menentukan keluasan gambar rajah; palang merah digunakan untuk menandakan pekali positif, dan palang hitam untuk pekali negatif. Ini merupakan sebutan nombor negatif yang pertama diketahui di dunia Timur; rujukan pertama dalam karya Barat adalah pada abad ke-3 di Greece. Diophantus merujuk kepada persamaan (penyelesaiannya adalah negatif) di dalam karyanya, Arithmetica, dan mengatakan bahawa persamaan itu memberikan hasil bukan-bukan.

Semasa dekad 600-an, nombor-nombor negatif telah digunakan di India untuk mewakili hutang. Rujukan-rujukan Diophantus dahulu telah dibincangkan dengan lebih ketara olehBrahmagupta, ahli matematik India, di dalam karyanya Brahma-Sphuta-Siddhanta pada tahun 628 Masihi. Beliau menggunakan nombor-nombor negatif untuk menghasilkan rumus kuadratik, satu bentuk am yang masih digunakan pada hari ini. Bagaimanapun pada abad ke-12 di India, Bhaskara memberikan punca kuasa negatif untuk persamaan-persamaan kuadratik, tetapi berkata bahawa nilai negatif "dalam kes ini tidak diambil kerana tidak sempurna; orang-orang tidak akan bersetuju dengan punca-punca kuasa negatif."

Ahli-ahli matematik Eropah biasanya menahan konsep nombor-nombor negatif sehingga abad ke-17, walaupun Fibonacci membenarkan penyelesaian negatif yang ditafsirkannya sebagai debit (bab 13 daripada Liber Abaci, 1202) dan kemudiannya sebagai kerugian (dalam Flos). Pada waktu yang sama, orang-orang Cina menandakan nombor-nombor negatif melalui satu coret serong pada digit bukan sifar yang paling kanan untuk angka nombor positif yang sepadan. Penggunaan pertama nombor negatif dalam karya Eropah adalah olehChuquet pada abad ke-15. Beliau menggunakannya sebagai eksponen, tetapi merujuk kepadanya sebagai "nombor bukan-bukan"

Baru-baru pada abad ke-18, ahli mathematik Switzerland, Leonhard Euler, mempercayai bahawa nombor negatif adalah lebih besar berbanding dengan ketakterhinggaan. Adalah amalan biasa pada masa itu untuk tidak mengendahkan sebarang hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan, berdasarkan andaian bahawa angka-angka itu tidak bermakna.